Erste Engagements führten Norbert Schwientek an das Stadttheater St. Gallen und an das Tübinger Zimmertheater. Von 1971 bis 1975 gehörte er unter Horst Zankl zum Ensemble des Theater am Neumarkt und arbeitete dort u.a. mit Jürgen Flimm. Es folgten Engagements am Theater Basel, am Bremer Theater, an den Münchner Kammerspielen und am Schillertheater Berlin.
Von 1984 bis 1989 war Norbert Schwientek während der Intendanz von Gerd Heinz Ensemblemitglied am Schauspielhaus Zürich und spielte dort u.a. den „Nero“ in Racines „Britannicus“, den Damunt in der Uraufführung von Thomas Hürlimanns „Stichtag“ oder den Sosias in Kleists „Amphytrion“. 1988 inszenierte er am Schauspielhaus Zürich Strindbergs „Fräulein Julie“.
1989 wechselte er unter Intendant Frank Baumbauer ans Theater Basel und arbeitete dort mit Regisseuren wie Werner Schroeter, Hans Hollmann, Jossi Wieler und immer wieder mit Werner Düggelin. 1991 wurde Schwientek von der Zeitschrift „Theater heute“ zum Schauspieler des Jahres gewählt. 1992 inszenierte er am Theater Basel Marieluise Fleissers „Fegefeuer in Ingolstadt“.
Ab 1993 folgten Gastengagements als freier Schauspieler am Deutschen Schauspielhaus Hamburg, am Theater Basel (u.a. 1998 Titelrolle in Tschechows „Onkel Wanja“, Regie Peter Palitzsch), dem Theater am Neumarkt (u.a. 1996 als Krapp in Beckets „Das letzte Band“, Regie Werner Düggelin) und dem Schauspielhaus Zürich (u.a. unter Regisseur Werner Düggelin als Thomas Pollock Nageoire in Claudels „Der Tausch“ (1993) und als Hamm in Beckets „Endspiel“ (1994); als Klamroth in Hauptmanns „Vor Sonnenuntergang“ (1995, Regie Uwe Eric Laufenberg) oder als Carbaldi in Bernhards „Macht der Gewohnheit“ (1999, Regie Harald Clemen).
In den letzten Jahren arbeitete Norbert Schwientek als freier Schauspieler und Regisseur und war u.a. in diversen Film- und Fernsehproduktionen zu sehen.
